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Percolation

mercredi 17 août 2005, par Xavier Ducros

Le phénomène de percolation permet d’étudier la popagation d’une information entre différents sites actifs (dont on choisit la densité), dont certains sont liés entre eux, et d’autres non. Cela peut représenter le propagation d’un feu de forêt, d’une épidémie, d’une infiltration d’eau…

Dans la simulation proposée on génère ou non un site actif en bleu (arbre en feu, personne contaminée par un virus, canalisation ouverte…) en chaque case du damier (qui représente la zone d’espace étudée), avec la probabilité choisie (densité des sites actifs sur le damier). La ligne du haut est ensuite activée différemment, en rouge (représente l’information à propager, un virus, du feu, une infiltration d’eau). Un carré bleu en contact avec un rouge, par un de ses côtés, devient rouge à son tour (propagation du feu, contamination…). Le but est alors de savoir si l’information arrivera jusqu’en bas.

Il est intéressant de noter la propagation n’augmente pas progressivement lorsque l’on augmente la densité des sites actifs (par exemple arbres en feu ou personnes contaminées par un virus), mais qu’il existe un seuil :
si elle est inférieur à 0,6 (moins de 60% des sites occupés) alors l’information n’arrive pas en bas (on dit que cela ne percole pas) ;
si elle est supérieure à 0,6 cela percole à tous les coups !! L’information se propagera alors à tout le damier.

Ce résultat se retrouve bien avec la simulation, à condition d’avoir un damier assez grand pour que ses bords n’influent pas trop (effets de bord…). Il aurait également été possible de prendre des conditions aux bords périodiques, ce sera pour une prochaine simulation !

P.-S.

Liens sur la percolation (Jean-Paul Davalan)

3 Messages de forum

> Percolation
19 novembre 2005 00:31, par Niluge_KiWi

Ca doit etre intéressant mathématiquement de démontrer le seuil de percolation ! D’ailleur avec une proba de 0.59 j’ai réussi à atteindre le bas au bout de quelques essais.. ce seuil a-t-il donc bien une validité mathématique ? oubien c’est une valeur probabilistique ?L’"effet bord" est peut etre à l’origine de cette contradiction.. Et si on lie les bords opposés entre eux, pour que le bord droit réagisse comme si il avait les cellules du bord gauche à coté, et vice-versa, l’effet bord existe il encore ? (peut etre pour le haut/bas..)
- > Percolation 19 novembre 2005 09:55
  
  Ca doit etre intéressant mathématiquement de démontrer le seuil de percolation !
  
  Oui, mais c’est difficile et on ne sait pas le faire pour tout type de réseau. Pour un réseau carré, on sait trouver un seuil exact pour une percolation de liens (les côtés des carrés sont comme des tuyaux qui laissent passer de l’eau), mais uniquement numériquement pour une percolation de sites (cas de ma simu). Pour un réseau triangulaire on sait traiter mathématiquement les deux, mais cela fait appel à des notions évoluées, comme la renormalisation.
  
  D’ailleur avec une proba de 0.59 j’ai réussi à atteindre le bas au bout de quelques essais.. ce seuil a-t-il donc bien une validité mathématique ? oubien c’est une valeur probabilistique ?L’"effet bord" est peut etre à l’origine de cette contradiction
  
  La vraie valeur est en fait 0,59275 (évaluée numériquement), mais est valable pour un réseau infini, ce qui est loin d’être le cas. Ce sont bien des effets de bord : la transition de percolation ne se fait plus en seuil (tout ou rien), mais progressivement quand p augmente.
  
  Et si on lie les bords opposés entre eux, pour que le bord droit réagisse comme si il avait les cellules du bord gauche à coté, et vice-versa, l’effet bord existe il encore ?
  
  C’est une excellente idée ! Cela s’appelle utiliser des conditions périodiques (aux bords), et c’est très utilisé pour éviter l’effet de bord.
  
  XD
  - > Percolation de liens 2 mars 2008 18:51, par july3_76
    
    On nous a demandé un projet où il est question d’un graphe avec des villes représentées par des points et elles sont toutes reliées les unes aux autres par des "routes". Chacunes des routes a une probabilité p d’être détruites par un bombardement. On nous demande alors la probabilité q de rejoindre une ville A a une ville B. Il faut faire aussi une simulation de bombardements. Comment faire ?
    
    Merci d’avance.