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L’algorithme de Monte-Carlo permet de simuler l’évolution vers l’équilibre d’un système quelconque. Le nom de cette méthode est dû à son principe : tirer des nombres au hasard. Ensuite tout l’art de cette méthode est d’exploiter ces nombres convenablement ! Il existe de nombreux ouvrages traitant exclusivement de cette méthode, et dans cet exemple nous allons juste en voir un exemple élémentaire.

Nous choisissons d’étudier un gaz contenu dans une enceinte de volume V et dont la température est maintenue constante. Nous souhaitons étudier la distribution des molécules de ce gaz dans l’enceinte, et en particulier, nous voulons comparer à chaque instant le nombre de molécules situées dans la partie gauche de l’enceinte et le nombre de molécules situées à droite (on suppose la boîte virtuellement coupée en 2). On suppose que l’enceinte comporte N particules (modifiable par un menu dans la simulation), supposées ponctuelles et sans interactions entre elles. Dans la réalité la densité des particules ne dépend pas du point de la boîte (homogénéité) et les particules se déplacent dans toutes les directions de l’espace avec la même probabilité (isotropie) : un tel comportement se traduit assez bien par un traitement statistique du gaz. Cette simulation reproduit le comportement du gaz de la manière suivante : on tire de manière aléatoire une configuration des particules (ce qui revient à tirer au hasard la position des N particules dans la boîte), puis une autre, et ainsi de suite… Un tel procédé se jusitifie théoriquement (principe ergodique en physique statistique) et se prête parfaitement à une approche par méthode de Monte Carlo. La simulation illustre ce phénomène (on tire 9000 configurations successives) : à chaque nouvelle configuration on compte le nombre de particules dans la partie gauche de la boîte, et ainsi on en déduit la moyenne et l’écart type de ce paramètre. La simulation représente les positions successives des particules dans la boîte et permet aussi de voir la distribution statistique du nombre de particules trouvées à gauche. On l’obtient sur un histogramme qui donne le nombre de fois que l’on a compté un certain nombre de particules à gauche. Cette distribution est théoriquement une distribution gaussienne (courbe en cloche) dont la moyenne est N/2 (moitié des particules à gauche) et l’écart type . La simulation illustre ces différents points. Cette simulation montre aussi que lorsque le nombre de particules dans le système augmente, les fluctuations (rapport de l’écart type sur la valeur moyenne) diminuent. En pratique le nombre de particules est très grand (nombre d’Avogadro de l’ordre de ) et les fluctuations sont tout à fait négligeables. Le cas macroscopique (celui observé en pratique) correspond à l’état le plus probable, c’est-à-dire N/2 particules à gauche et N/2 à droite.